线性代数 - 向量基础

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向量的定义

$n$ 个有次序的数 $a_1, a_2, \cdots, a_3$ 所组成的数组称为 $n$ 维(Dimension向量(Vector,这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量(Component,第 $i$ 个数 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量。一般用粗体小写字母字表示向量,比如:$\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$, $\mathbf{u}$ 。


例1

$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $ 是一个二维向量(tow-demensional vector),第一个分量是 $v_1$,第二个分量是 $v_2$。

所有分量都是 $0$ 的向量称为 $\mathbf{0}$ 向量。以二维向量为例,$\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

行向量与列向量

向量可以写成一行,也可以写成一列,写成一行的向量叫做行向量,写成一列的向量叫做列向量


例2

$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $ 是列向量。
$ \mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 & w_2 \end{bmatrix} $ 是行向量。

注意行向量和列向量是不同的向量,不能混为一谈。

有时为了书写方便,也将列向量记为 $ \mathbf{v} = \left( v_1, v_2 \right) $

向量的表示

在直角坐标系中,用以原点为起点,并带有箭头的线段表示向量。


例3 二维向量 $ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} $ 表示为:

图1 - 向量的表示

向量有三种等价的表示方法:

  • 有序数列
  • 以原点为起点的有向线段
  • 坐标点

向量的加法

一个向量的分量不能相加,但是两个向量可以相加。两个向量的加法就是将这两个向量的分量对应相加。


例4

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$,$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$,则 $ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{bmatrix} $

注意两个向量必须同型(都是行向量或者都是列向量)同维度才能相加。

在直角坐标系中,可以使用三角形法或者平行四边形法来计算两个向量的和。

三角形法是将两个向量首尾顺次相连,第一个向量的起点与第二向量的终点的连线就是这两个向量的和。


例5

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$,$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$,则用三角法计算 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 可表示为:

图2 - 三角法计算两个向量的和

平行四边形法是以两个向量为相临边作平行四边形,经过这两个向量交点的对角线即为这两个向量的和。


例6

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$,$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$,则用平行四边形法计算 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 可表示为:

图3 - 平行四边形法计算向量的和

向量的数乘

向量的数乘就是用标量(Scalar)乘以向量的每个分量。


例7

$ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} $,则 $ 2 \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 \times 3 \\ 2 \times 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix} $

向量组

若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组

向量组的线性组合

给定向量组 $A: \mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \cdots, \mathbf{a_m}$,对于任何一组实数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$,表达式

$$ k_1 \mathbf{a_1} + k_2 \mathbf{a_2} + \cdots + k_m \mathbf{a_m} $$

称为向量组 $A$ 的一个线性组合Linear Combination)。


例8

$\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 是两个向量,$c$、$d$ 是两个标量,则 $c \mathbf{u} + d \mathbf{v}$ 就是 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的一个线性组合。

向量的线性组合是线性代数的基石。


例9

假设 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$、$\mathbf{w}$ 是三个不共线的三维向量,$c$、$d$、$e$ 是三个标量,则:

$ c\mathbf{u} $ 组成一条经过原点$(0,0,0)$的直线
$ c\mathbf{u} + d\mathbf{u} $ 组成一个经过原点$(0,0,0)$的平面
$ c\mathbf{u} + d\mathbf{u} + e\mathbf{v}$ 组成整个三维空间,即 $\mathbb{R}^3$

可以将线性方程组写成向量的线性组合。


例10

方程组 $ \left\{ \begin{array}{rl} 3x + 2y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{array} \right. $ 可以写为 $ \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} y = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} $

向量组的线性相关性

设有三个向量 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$、$\mathbf{w}$ 组成的向量组 $A$,如果 $\mathbf{w}$ 恰好是 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 的线性组合,即 $\mathbf{w} = a \mathbf{u} + b \mathbf{v}$,这时 $a \mathbf{u} + b \mathbf{v}$ 就与 $\mathbf{w}$ 共线,而两个共线的向量必定存在一个线性组合,使得 $p(a \mathbf{u} + b \mathbf{v}) + q \mathbf{w} = \mathbf{0}$,即存在常数 $c$、$d$、$e$,使得 $c \mathbf{u} + d \mathbf{v} + e \mathbf{w} = \mathbf{0}$。这时我们称向量组 $A$ 线性相关。

从几何的角度讲,如果三个向量 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$、$\mathbf{w}$ 共面,那么我们总找到一组线性组合,使得 $c \mathbf{u} + d \mathbf{v} + e \mathbf{w} = \mathbf{0}$:

图4 - 三向量共面

严格的定义如下:

给定向量组 $A: \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \cdots, \mathbf{a}_m$,如果存在不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$,使

$$ k_1 \mathbf{a}_1 + k_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + k_m \mathbf{a}_m = \mathbf{0} $$

则称向量组 $A$ 是线性相关的,否则称它线性无关。

向量的内积

$n$ 维向量 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 的内积Inner Product)或点积Dot Product)为:

$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n $$

内积有时也记为 $\left[ \mathbf{u}, \mathbf{v}\right]$ 或 $\left< \mathbf{u}, \mathbf{v} \right>$。


例11

$ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = 2 \times 4 + 3 \times 5 = 23 $

向量的长度

$$ \left \| \mathbf{v} \right \| = \sqrt{\begin{array}{ll} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \end{array}} = \sqrt{ v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2 } $$

$\left \| x \right \|$ 称为 $n$ 维向量的长度Length)或范数Norm)。


例12

$ \left \| \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \right \| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $

当 $\left \| \mathbf{v} \right \| = 1$ 时,称 $\mathbf{v}$ 为单位向量Unit Vector)。


例13

$\mathbf{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$、$\mathbf{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$、$\mathbf{k} = \begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}$ 都是单位向量。

$\dfrac{\mathbf{u}}{ \left \| \mathbf{u} \right \|}$ 得到与 $\mathbf{u}$ 同方向的单位向量。

两向量的夹角

当 $\mathbf{u} \ne \mathbf{0}$、$\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ 时,

$$ \theta = \arccos \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\left \| \mathbf{u} \right \| \left \| \mathbf{v} \right \|} $$

称为 $n$ 维向量 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 的夹角Angle)。

当 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$ 时,称向量 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$ 正交Perpendicular)。显然零向量与任何向量都正交。

施瓦茨不等式

施瓦茨不等式(Schwarz Inequality):$ \left| \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \right| \leqslant \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| $

三角不等式

三角不等式(Triangle Inequality):$ \left\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \right\| \leqslant \left\| \mathbf{u} \right\| + \left\| \mathbf{v} \right\| $

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