线性代数 - 矩阵基础

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矩阵的定义

由 $m \times n$ 个数 $a_{ij} (i=1,2,\cdots,m; j= 1,2,\cdots,n)$排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表

$$ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix} $$

称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵Matrix),简称 $m \times n$ 矩阵。其中 $a_{ij}$ 表示矩阵的 $(i,j)$ 元素,简称

通常用粗体大写字母表示矩阵,用方括号将数表括起来:

$$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$m \times n$ 的矩阵可简记为 $\mathbf{A}_{m \times n}$ 或 $\left( a_{ij} \right)_{m \times n}$ 。

行数和列数都等于 $n$ 的矩阵称为 $n$ 阶方阵,通常记为 $\mathbf{A}_n$。

零矩阵

所有元素都为 $0$ 的矩阵称为零矩阵,通常用 $\mathbf{O}$ 表示:

$$ \mathbf{O} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} $$

对角矩阵

只有主对角线(从左上到右下的对角线)上的元素不为 $0$,其他元素都为 $0$ 的矩阵称为对角矩阵,简称对角阵

$$\boldsymbol{\Lambda} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} $$

对角矩阵可简记为 $\boldsymbol{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)$

单位矩阵

主对角线元素为 $1$ 的对角阵称为单位矩阵,简称单位阵,通常用 $\mathbf{I}$ 或 $\mathbf{E}$ 表示:

$$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$

矩阵的加法

设有两个 $m \times n$ 的矩阵 $\mathbf{A} = \left( a_{ij} \right)$ 和 $\mathbf{B} = \left( b_{ij} \right)$,那么矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的和记作 $\mathbf{A} + \mathbf{B}$,规定为

$$ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix} $$

即矩阵的加法就是将两个矩阵对应的元素相加。注意只有同型矩阵才能进行加法运算。


例1

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 2 & 1 + 3 \\ 2 + 4 & -1 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 4 \end{bmatrix} $$

矩阵的数乘

数 $\lambda$ 与矩阵 $\mathbf{A}$ 的乘积记作 $\lambda \mathbf{A}$ 或 $\mathbf{A} \lambda$,规定为

$$ \lambda \mathbf{A} = \mathbf{A} \lambda = \begin{bmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{bmatrix} $$

矩阵左乘向量

矩阵左乘向量是由向量的线性组合而来。比如下面三个向量:

$$ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad\quad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad\quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$

这三个向量的线性组合可以表示为:

$$ a \mathbf{u} + b \mathbf{v} + c \mathbf{w} = a \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b+c \\ -a + b \\ a - c \end{bmatrix} $$

到这里就可以引入矩阵左乘向量的规则了,将 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$、$\mathbf{w}$ 作为矩阵 $\mathbf{A}$ 的列,将 $a$、$b$、$c$ 作为向量 $\mathbf{x}$ 的分量,那么矩阵左乘向量就定义为:

$$ \mathbf{A} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b+c \\ -a + b \\ a - c \end{bmatrix} $$

可以看到 $\mathbf{A} \mathbf{x}$ 就是以 $\mathbf{x}$ 的分量为参数的,$\mathbf{A}$ 的每一列的线性组合。注意只有 $\mathbf{A}$ 的列数与 $\mathbf{x}$ 的维数相同才有意义!

$\mathbf{A} \mathbf{x}$ 也可以看作是 $\mathbf{A}$ 的每一行与向量 $\mathbf{x}$ 的内积:

$$ \mathbf{A} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left( 1, 1, 1 \right) \cdot \left( a, b, c \right) \\ \left( -1, 1, 0 \right) \cdot \left( a, b, c \right) \\ \left( 1, 0, -1 \right) \cdot \left( a, b, c \right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+b+c \\ -a + b \\ a - c \end{bmatrix} $$


例2

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 12 \\ 9 \end{bmatrix} $$

方程组的矩阵式

有下面的方程组:

$$ \left\{ \begin{array}{rl} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 9 \\ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 11 \\ 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 1 \end{array} \right. $$

首先写成向量形式:

$$ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} x_1 + \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix} x_2 + \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} x_3 = \begin{bmatrix} 9 \\ 11 \\ 1 \end{bmatrix} $$

由此可以写出矩阵形式:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 11 \\ 1 \end{bmatrix} $$

令 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{bmatrix} $,$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$,$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 9 \\ 11 \\ 1 \end{bmatrix}$,上式可以写为:

$$ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} $$

其中 $\mathbf{A}$ 称为系数矩阵Coefficient matrix), $\mathbf{x}$ 称为未知数矩阵,$\mathbf{b}$ 称为常数项矩阵。$\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{b}$ 的组合 $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 9 \\ 3 & 4 & 2 & 11 \\ 2 & -3 & 1 & 1 \end{bmatrix} $ 称为增广矩阵Augmented Matrix)。

矩阵的乘法

理解了矩阵左乘向量,就可以很容易理解矩阵乘法了。如果矩阵左乘向量 $\mathbf{A} \mathbf{x}$ 可以看作 $\mathbf{A}$ 的列的一个线性组合。那么矩阵乘以矩阵 $\mathbf{A} \mathbf{X}$ 就可以看作 $\mathbf{A}$ 的列的多个线性组合,每个线性组合在结果中占一列。

比如有如下的两个矩阵相乘:

$$ \mathbf{A} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{Purple}{1} & \color{blue}{2} \\ \color{red}{2} & \color{Purple}{3} & \color{blue}{-1} \\ \color{red}{-2} & \color{Purple}{-1} & \color{blue}{1} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \color{orange}{2} & \color{Magenta}{3} \\ \color{orange}{1} & \color{Magenta}{-1} \\ \color{orange}{1} & \color{Magenta}{2} \end{bmatrix} $$

$\mathbf{A}$ 的第一个线性组合为:

$$ \mathbf{b}_1 = \color{orange}{2} \begin{bmatrix} \color{red}{1} \\ \color{red}{2} \\ \color{red}{-2} \end{bmatrix} + \color{orange}{1} \begin{bmatrix} \color{Purple}{1} \\ \color{Purple}{3} \\ \color{Purple}{-1} \end{bmatrix} + \color{orange}{1} \begin{bmatrix} \color{blue}{2} \\ \color{blue}{-1} \\ \color{blue}{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{ForestGreen}{5} \\ \color{ForestGreen}{6} \\ \color{ForestGreen}{-4} \end{bmatrix} $$

$\mathbf{A}$ 的第二个线性组合为:

$$ \mathbf{b}_2 = \color{Magenta}{3} \begin{bmatrix} \color{red}{1} \\ \color{red}{2} \\ \color{red}{-2} \end{bmatrix} + \color{Magenta}{-1} \begin{bmatrix} \color{Purple}{1} \\ \color{Purple}{3} \\ \color{Purple}{-1} \end{bmatrix} + \color{Magenta}{2} \begin{bmatrix} \color{blue}{2} \\ \color{blue}{-1} \\ \color{blue}{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{Sienna}{6} \\ \color{Sienna}{1} \\ \color{Sienna}{-3} \end{bmatrix} $$

将这两个线性组合放在一起,就得到 $\mathbf{A} \mathbf{X}$ 的结果:

$$ \mathbf{A} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{ForestGreen}{5} & \color{Sienna}{6} \\ \color{ForestGreen}{6} & \color{Sienna}{1} \\ \color{ForestGreen}{-4} & \color{Sienna}{-3} \end{bmatrix} $$

我们也可以将 $\mathbf{b}_1$ 与 $\mathbf{b}_2$ 放在一起运算:


\begin{align*} \mathbf{A} \mathbf{X} &= \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{Purple}{1} & \color{blue}{2} \\ \color{red}{2} & \color{Purple}{3} & \color{blue}{-1} \\ \color{red}{-2} & \color{Purple}{-1} & \color{blue}{1} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \color{orange}{2} & \color{orange}{3} \\ \color{Magenta}{1} & \color{Magenta}{-1} \\ \color{LimeGreen}{1} & \color{LimeGreen}{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \color{red}{1} \\ \color{red}{2} \\ \color{red}{-2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{orange}{2} & \color{orange}{3} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \color{Purple}{1} \\ \color{Purple}{3} \\ \color{Purple}{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{Magenta}{1} & \color{Magenta}{-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \color{blue}{2} \\ \color{blue}{-1} \\ \color{blue}{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{LimeGreen}{1} & \color{LimeGreen}{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \color{ForestGreen}{2} & \color{Sienna}{3} \\ \color{ForestGreen}{4} & \color{Sienna}{6} \\ \color{ForestGreen}{-4} & \color{Sienna}{-6} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \color{ForestGreen}{1} & \color{Sienna}{-1} \\ \color{ForestGreen}{3} & \color{Sienna}{-3} \\ \color{ForestGreen}{-1} & \color{Sienna}{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \color{ForestGreen}{2} & \color{Sienna}{4} \\ \color{ForestGreen}{-1} & \color{Sienna}{-2} \\ \color{ForestGreen}{1} & \color{Sienna}{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \color{ForestGreen}{5} & \color{Sienna}{6} \\ \color{ForestGreen}{6} & \color{Sienna}{1} \\ \color{ForestGreen}{-4} & \color{Sienna}{-3} \end{bmatrix} \end{align*}

注意只有左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等才能进行矩阵的乘法!

同矩阵左乘向量一样,也可以使用内积的方法来计算矩阵乘以矩阵:


\begin{align*} \mathbf{A} \mathbf{X} &= \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} \\ \color{Purple}{2} & \color{Purple}{3} & \color{Purple}{-1} \\ \color{blue}{-2} & \color{blue}{-1} & \color{blue}{1} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \color{orange}{2} & \color{Magenta}{3} \\ \color{orange}{1} & \color{Magenta}{-1} \\ \color{orange}{1} & \color{Magenta}{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \left( \color{red}{1}, \color{red}{1}, \color{red}{2} \right) \cdot \left( \color{orange}{2}, \color{orange}{1}, \color{orange}{1} \right) & \left( \color{red}{1}, \color{red}{1}, \color{red}{2} \right) \cdot \left( \color{Magenta}{3}, \color{Magenta}{-1}, \color{Magenta}{2} \right) \\ \left( \color{Purple}{2}, \color{Purple}{3}, \color{Purple}{-1} \right) \cdot \left( \color{orange}{2}, \color{orange}{1}, \color{orange}{1} \right) & \left( \color{Purple}{2}, \color{Purple}{3}, \color{Purple}{-1} \right) \cdot \left( \color{Magenta}{3}, \color{Magenta}{-1}, \color{Magenta}{2} \right) \\ \left( \color{blue}{-2}, \color{blue}{-1}, \color{blue}{1} \right) \cdot \left( \color{orange}{2}, \color{orange}{1}, \color{orange}{1} \right) & \left( \color{blue}{-2}, \color{blue}{-1}, \color{blue}{1} \right) \cdot \left( \color{Magenta}{3}, \color{Magenta}{-1}, \color{Magenta}{2} \right) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 6 & 1 \\ -4 & -3 \end{bmatrix} \end{align*}

矩阵乘法的定义:

设 $\mathbf{A} = \left( a_{ij} \right)$ 是一个 $m \times s$ 矩阵,$\mathbf{B} = \left( b_{ij} \right)$ 是一个 $s \times n$ 矩阵,那么规定矩阵 $\mathbf{A}$ 与矩阵 $\mathbf{B}$ 的乘积是一个 $m \times n$ 矩阵 $\mathbf{C} = \left( c_{ij} \right)$,其中

$$ c_{ij} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{is} b_{sj} = \sum\limits_{k=1}^s a_{ik} b_{kj} \\
(i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n)$$

并把此乘积记作 $\mathbf{C} = \mathbf{A} \mathbf{B}$


例3

$$ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ \mathbf{A} \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 2 \times -1 & 1 \times 1 + 2 \times 2 \\ 3 \times 1 + -2 \times -1 & 3 \times 1 + -2 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \\ \mathbf{B} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 1 \times 3 & 1 \times 2 + 1 \times -2 \\ -1 \times 1 + 2 \times 3 & -1 \times 2 + 2 \times -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & -6 \end{bmatrix} $$

由此例可见矩阵乘法不满足交换律,即 $\mathbf{A} \mathbf{B} \ne \mathbf{B} \mathbf{A}$


例4

\begin{align*} \mathbf{E} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\ \mathbf{E} \mathbf{A} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \mathbf{A} \\ \mathbf{A} \mathbf{E} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \mathbf{A} \end{align*}

由此例可见任何矩阵乘以单位矩阵(无论左乘还是右乘)都等于它本身,即 $\mathbf{E} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{E} = \mathbf{A}$

矩阵右乘向量

知道了矩阵乘以矩阵,矩阵右乘向量就不用再赘述了。因为矩阵右乘向量就是矩阵乘矩阵的特殊情形,也就是左边的矩阵只有一行的情形。

值得注意的是,矩阵右乘向量同矩阵左乘向量一样,也可以看做向量的线性组合,只不过这里用的是行向量而不是列向量:


\begin{align*} & \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= 1 \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 3 & -2 \end{bmatrix} + -1 \begin{bmatrix} -1 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 9 & -6 \end{bmatrix} \end{align*}

矩阵的转置

把矩阵 $\mathbf{A}$ 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 $\mathbf{A}$ 的转置矩阵,记作 $\mathbf{A}^T$。


例5

$ 若 \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} $,则 $ \mathbf{A}^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} $

注意转置并不是将矩阵顺时针旋转 $90^{\circ}$ !

矩阵满足以下运算规律:

  • $\left(\mathbf{A}^T\right)^T = \mathbf{A}$
  • $\left(\mathbf{A} + \mathbf{B}\right)^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T$
  • $\left(\lambda \mathbf{A}\right)^T = \lambda \mathbf{A}^T$
  • $\left(\mathbf{A} \mathbf{B}\right)^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T$

逆矩阵

如果矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的乘积(无论左乘还是右乘)等于单位矩阵 $\mathbf{E}$,即 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$,则矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 互为逆矩阵。记作 $\mathbf{A} = \mathbf{B}^{-1}$ 或 $\mathbf{B} = \mathbf{A}^{-1}$。关于逆矩阵的求法,将在以后的博文中揭晓。

矩阵的迹

所谓矩阵的Trace)就是其对角线上的元素之和,通常用 $\text{tr}$ 表示。

$$ \text{tr} \begin{bmatrix} \color{blue}{1}&2 \\ 3&\color{blue}{4} \end{bmatrix} = \color{blue}{1} + \color{blue}{4} = 5 $$

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