线性代数 - 行列式基础

31

概述

行列式是线性代数中的重要工具,通过行列式可以求解逆矩阵,判断方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是否有解等等。本篇将介绍行列式的基础知识,关于行列式的应用我们将在后续博文中讲解。

二阶行列式

假设方阵 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$,我们将表达式 $ a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} $ 称为 $\mathbf{A}$ 的二阶行列式Determinant),记为 $\det\mathbf{A}$。即

$$ \det\mathbf{A} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} $$

有时也用竖线括起来的数表表示行列式,例如:

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$

从定义可以看到行列式仅仅是一个表达式,对行列式求值Evaluation of Determinant)是一个实数(标量)。




\begin{align*} \det \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = 2 \times 5 - 3 \times 4 = -2 \end{align*}

三阶行列式

有二阶行列式当然就有三阶行列式,三阶行列式稍微复杂一点,它的定义为:

\begin{align*} & \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & \quad - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \end{align*}

三阶行列式有 $6$ 项之多,不容易记忆,还好我们可以通过对角线法则来记忆它。对角线法则如下图:

图1 - 对角线法则

对角线法则就是主对角线Principal Diagonal)方向(右手向右劈的方向,读者可以抡起手臂感受一下,即图中的红色)上元素的积为正号,副对角线Auxiliary Diagonal)方向(右手向左劈的方向,仍然可以感受一下,即图中蓝色)上元素的积为负号,最后把它们放在一起就是三阶行列式了:

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \begin{array}{l} \color{red}{+a_{11}a_{22}a_{33}} \color{red}{+a_{12}a_{23}a_{31}} \color{red}{+a_{13}a_{21}a_{32}} \\ \color{blue}{-a_{11}a_{23}a_{32}} \color{blue}{-a_{12}a_{21}a_{33}} \color{blue}{-a_{13}a_{22}a_{31}} \end{array} $$

一图顶千言。相信三阶行列式已存在读者深深的脑海里了 ^_^ 。




\begin{align*} & \det \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix} \\ &= (-1) \times 4 \times (-1) + 2 \times 1 \times 2 + 3 \times 2 \times 3 \\ & \quad - (-1) \times 1 \times 3 - 2 \times 2 \times (-1) - 3 \times 4 \times 2 \\ &= 9 \end{align*}

三阶行列式介绍完了,那么 $n$($n \gt 3$)阶行列式又是什么样子的呢?别着急,我们先来学习一些基础知识。

全排列

$1$,$2$,$3$ 三个数有多少种排列方法?很容易列出所有的情况:

$$ 123, 132, 213, 231, 312, 321 $$

可以看到一共有 $6$ 种情况,我们可以直接计算出这个结果:第一个位置可以放 $3$ 个数字中的任意一个,第二个位置可以放剩下 $2$ 个数字中的任意一个,第三个位置只能放最后剩下的那 $1$ 个数字,因此有 $3\times 2 \times 1$ 种情况。

像上面这样把 $n$ 个不同的元素排成一列,叫做这 $n$ 个元素的全排列(也简称排列)。$n$ 个不同元素的所有排列的种数,通常用 $P_n$ 表示,通过上面的例子可知:

$$ P_n = n \times (n-1) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 = n! $$

有时也会计算 $n$ 个不同元素中的 $m$($m \leqslant n$)个元素的排列,这时用 $A_n^m$ 表示:

$$ A_n^m = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!} $$

逆序数

在学生时代我们都经历过排队吧?比如排队去春游,排队做早操等等。假设现在要对下面 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ 五个同学进行从矮到高排队,并且规定每次调整只能与相邻的同学交换位置,那么应该怎样排呢?

$ \normalsize{C} \huge{E} \large{D} \small{B} \tiny{A} $

一个好的策略是从排头的同学开始看,一直看到自己,当看到第一个比自己高的同学时,就交换到他(她)的前面去。对于上面的队列,如果仅考虑第一次调整的情况,有:

如果第一个调整的同学是 $C$,因为 $C$ 是排头,所以不动,交换次数为 $0$。
如果第一个调整的同学是 $E$,$E$ 从排头看到自己,没有比自己高的同学,所以不动,交换次数为 $0$。
如果第一个调整的同学是 $D$,$D$ 从排头开始看,发现 $E$ 比自己高,因此需要调整到 $E$ 的前面,交换次数为 $1$。
如果第一个调整的同学是 $B$,$B$ 从排头开始看,发现 $C$ 比自己高,因此需要调整到 $C$ 的前面,交换次数为 $3$。
如果第一个调整的同学是 $A$,$A$ 从排头开始看,发现 $C$ 比自己高,因此需要调整到 $C$ 的前面,交换次数为 $4$。

上面的交换次数就叫做逆序Inversion)。一个元素Element,组成队列的个体)的逆序越大,将它调整到合适的位置就越困难。所有的逆序之和就叫做这个排列的逆序数The Number of Inversions)。比如上面的逆序数为 $0 + 0 + 1 + 3 + 4 = 8$。逆序数有奇数也有偶数,逆序数为奇数的排列称为奇排列Even Permutation),逆序数为偶数的排列称为偶排列Odd Permutation)。我们的例子中的排列是偶排列。

关于逆序和逆序数,有个更严格的定义:

定义 对于 $n$ 个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如 $n$ 个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在这 $n$ 个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有 $1$ 个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

从上面的例子我们已经学会了如何计算一个排列的逆序数,这里给出更严格的描述:

不失一般性,不妨设 $n$ 个元素为 $1$ 至 $n$ 这 $n$ 个自然数,并规定有小到大为标准次序,设 $p_1p_2\cdots p_n$ 为这 $n$ 个自然数的一个排列,考虑元素 $p_i$ $(i = 1,2,\cdots,n)$,如果比 $p_i$ 大的且排在 $p_i$ 前面的元素有 $t_i$ 个,就说 $p_i$ 这个元素的逆序数是 $t_i$,全体元素的逆序数之总和

$$ t = t_1 + t_2 + \cdots + t_n = \sum\limits_{i=1}^n t_i $$

即是这个排列的逆序数。

对换

在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换Interchange),将相邻两个元素对换,叫做相邻对换

定理 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性Parity)。(证明


仍不妨设元素为从 $1$ 开始的自然数(从小到大为标准次序)。先证相邻对换的情形。

设排列为 $a_1\cdots a_i \color{red}{a}\color{blue}{b} b_1 \cdots b_m$,对换 $a$ 与 $b$,变为 $a_1\cdots a_i \color{blue}{b}\color{red}{a} b_1 \cdots b_m$。显然,$a_1\cdots a_i$;$b_1 \cdots b_m$ 这些元素的逆序数经过对换并不改变,而 $a$, $b$ 两元素的逆序数改变为:当 $a < b$ 时,经对换后 $a$ 的逆序数增加 $1$ 而 $b$ 的逆序数不变;当 $a > b$ 时,经对换后 $a$ 的逆序数不变而 $b$ 的逆序数减少 $1$。所以排列 $a_1\cdots a_i \color{red}{a}\color{blue}{b} b_1 \cdots b_m$ 与排列 $a_1\cdots a_i \color{blue}{b}\color{red}{a} b_1 \cdots b_m$ 的奇偶性不同。

再证一般对换的情形。

设排列为 $a_1 \cdots a_l \color{red}{a} b_1 \cdots b_m \color{blue}{b} c_1 \cdots c_n$,把它作 $m$ 次相邻对换,变成 $a_1 \cdots a_l \color{red}{a}\color{blue}{b} b_1 \cdots b_m c_1 \cdots c_n$,再作 $m+1$ 次相邻对换,变成 $a_1\cdots a_l \color{blue}{b} b_1 \cdots b_m \color{red}{a} c_1 \cdots c_n$。总之,经过 $2m+1$ 次相邻对换,排列 $a_1 \cdots a_l \color{red}{a} b_1 \cdots b_m \color{blue}{b} c_1 \cdots c_n$ 变成排列 $a_1\cdots a_l \color{blue}{b} b_1 \cdots b_m \color{red}{a} c_1 \cdots c_n$,所以这两个排列的奇偶性相反。

我们还是通过上面的例子来说明这个定理,将上面的例子拿下来:

$ \normalsize{C} \huge{E} \large{D} \small{B} \tiny{A} $

首先来看相邻对换的情形,假设对换 $D$ 和 $E$:

$ \normalsize{C} \large{D} \huge{E} \small{B} \tiny{A} $

$D$ 的逆序数由 $1$ 变为 $0$,而 $E$ 的逆序数不变,因此整个排列的逆序数由 $8$ 变为 $7$,由偶排列变成了奇排列。

再来看交换 $B$ 和 $C$ 的情形,$B$ 到 $C$ 的前面需要 $3$ 次交换,$C$ 再到 $B$ 原来的位置需要 $2$ 次交换,共 $5$ 次交换,因此奇偶性改变了 $5$ 次,因此与原排列的奇偶性相反。

推论 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。(证明


由上面的定理知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为 $0$),因此该推论成立。

$n$ 阶行列式

定义 设有 $n^2$ 个数,排成 $n$ 行 $n$ 列的数表

\begin{align*} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \end{align*}

作出表中位于不同行不同列的 $n$ 个数的乘积,并冠以符号 $(-1)^t$,得到形如

$$ (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{p_n} \tag{1} $$

的项,其中 $p_1 p_2 p_n$ 为自然数 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列,$t$ 为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有 $n!$ 个,因而形如 $(1)$ 式的项共有 $n!$ 项。所有这 $n!$ 项的代数和

$$ \sum\limits (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{p_n} $$

称为 $n$ 阶行列式N-order Determinants),记作

\begin{align*} D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{align*}

简记作 $\det(a_{ij})$,其中数 $a_{ij}$ 为行列式 $D$ 的 $(i,j)$ 元。

主对角线以下(上)的元素都为 $0$ 的行列式叫做上(下)三角形行列式Triangular Determinant);特别,主对角线以下和以上的元素都为 $0$ 的行列式叫做对角行列式

行列式的转置

转置行列式与转置矩阵类似,就是把行列式的行变列,列变行:

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \quad\quad D^T = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 对换行列式的两行(列),行列式变号。
推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零。
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 $k$,等于用数 $k$ 乘此行列式。
推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零。
性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第 $i$ 行的元素都是两数之和:

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} + a_{i1}’ & a_{i2} + a_{i2}’ & \cdots & a_{in} + a_{in}’ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

则 $D$ 等于下列两个行列式之和:

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1}’ & a_{i2}’ & \cdots & a_{in}’ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

性质6 把行列式的某一行(列)的各个元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。

行列式按行(列)展开

在 $n$ 阶行列式中,把 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 行划去后,留下来的 $n-1$ 阶行列式叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式Minor),记作 $M_{ij}$;记

$$ A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $$

$A_{ij}$ 叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的代数余子式Cofactor)。

引理 一个 $n$ 阶行列式,如果其中第 $i$ 行所有元素除 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 外都为 $0$,那么这个行列式等于 $a_{ij}$ 与它的代数余子式的乘积,即

$$ D = a_{ij} A_{ij} $$

定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

$$ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \quad (i=1,2,\cdots,n) $$

$$ D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \quad (j=1,2,\cdots,n) $$

这个定理叫做行列式按行(列)展开法则,又叫做行列式的代数余子式展开Cofactor Expansion)。

推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

$$ a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0, \quad i \ne j $$

$$ a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ni}A_{nj} = 0, \quad i \ne j $$

版权声明:本文为原创文章,转载请注明出处。http://cynhard.com/2018/10/15/LA-Determinants-Basic/

推荐文章